Use a notação de somatório para escrever a Série de Maclaurin para a função dada e, logo em seguida, determine seu intervalo de convergência:
f(x)=cos (pi x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a notação de somatório para escrever a Série de Maclaurin da função $ f(x) = \cos(\pi x) $ e depois determinar o intervalo de convergência dessa série. Isso envolve conhecimentos de séries de Taylor, especificamente a Série de Maclaurin, que é uma expansão em série de potências em torno de $ x = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Série de Maclaurin para a função cosseno geral. A Série de Maclaurin para $ \cos(x) $ é dada por:
cos(x)
Isso significa que podemos expressar o cosseno de qualquer ângulo $ x $ como a soma infinita desses termos.

Passo 3

Agora, como a nossa função é $ \cos(\pi x) $ e não apenas $ \cos(x) $, precisamos substituir $ x $ por $ \pi x $ na série que acabamos de lembrar. Então, a Série de Maclaurin para $ \cos(\pi x) $ fica:
cos(pi x)
Simplificando um pouco a expressão, temos:
cos(x)

Passo 4

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para séries de potências do tipo $ \sum a_n x^n $, usamos o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência $ R $.
Aplicando o Teste da Razão:
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para todo valor real de $ x $.

Resposta

A Série de Maclaurin para $ f(x) = \cos(\pi x) $ é:
f(x) = cos(pi x)
E o intervalo de convergência dessa série é:
cos(pi x) = sumn=0^infty (-1)^n pi^2n x^2n(2n)!

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