Use a notação de somatório para escrever a Série de Maclaurin para a função dada e, logo em seguida, determine seu intervalo de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a notação de somatório para escrever a Série de Maclaurin da função $ f(x) = \cos(\pi x) $ e depois determinar o intervalo de convergência dessa série. Isso envolve conhecimentos de séries de Taylor, especificamente a Série de Maclaurin, que é uma expansão em série de potências em torno de $ x = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Série de Maclaurin para a função cosseno geral. A Série de Maclaurin para $ \cos(x) $ é dada por:
Isso significa que podemos expressar o cosseno de qualquer ângulo $ x $ como a soma infinita desses termos.
Passo 3
Agora, como a nossa função é $ \cos(\pi x) $ e não apenas $ \cos(x) $, precisamos substituir $ x $ por $ \pi x $ na série que acabamos de lembrar. Então, a Série de Maclaurin para $ \cos(\pi x) $ fica:
Simplificando um pouco a expressão, temos:
Passo 4
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para séries de potências do tipo $ \sum a_n x^n $, usamos o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência $ R $.
Aplicando o Teste da Razão:
Como o limite é 0, que é menor que 1, a série converge para todo valor real de $ x $.
Resposta
A Série de Maclaurin para $ f(x) = \cos(\pi x) $ é:
E o intervalo de convergência dessa série é: