Determine se as sequencias abaixo convergem e calcule o limite, caso seja divergente, justifique.
a_{n}=\frac{(5 n+1)!}{(5 n-1)!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_{n} = \frac{(5n+1)!}{(5n-1)!}
converge e, em caso de convergência, calcular o seu limite. O conteúdo envolvido é manipulação de fatoriais e estudo de limites de sequências.

Passo 2

Para simplificar a razão de fatoriais, note que
(5n+1)! = (5n+1)\,(5n)\,(5n-1)!.
Logo,
a_{n} = \frac{(5n+1)!}{(5n-1)!} = \frac{(5n+1)\,(5n)\,(5n-1)!}{(5n-1)!} = (5n+1)\,(5n).

Passo 3

Multiplicando os termos, obtemos
a_{n} = (5n+1)(5n) = 25\,n^{2} + 5\,n.

Passo 4

Como 25\,n^{2}+5\,n é um polinômio de grau 2 em n, quando n \to \infty ele cresce sem limite superior. Portanto
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\bigl(25\,n^{2}+5\,n\bigr) = +\infty.

Resposta

A sequência diverge e seu limite é +\infty.

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