Determine se as sequencias abaixo convergem e calcule o limite, caso seja divergente, justifique.
a_{n}=\frac{(3 n-1)!}{(3 n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da sequência
a_{n} = \frac{(3n-1)!}{(3n+1)!}
Isso envolve propriedades de fatoriais e limites de sequências numéricas.

Passo 2

Usamos a relação
(3n+1)! = (3n+1)\,(3n)\,(3n-1)!,
pois k! = k\,(k-1)! para qualquer inteiro k\ge1.

Passo 3

Substituindo na definição de a_n, obtemos
a_{n} = \frac{(3n-1)!}{(3n+1)\,(3n)\,(3n-1)!} = \frac{1}{(3n+1)(3n)}.

Passo 4

Para n\to\infty, temos
(3n+1)(3n) = 9n^2 + 3n \xrightarrow[n\to\infty]{}\infty,
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a_{n} = \frac{1}{9n^2 + 3n} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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