Encontre o limite \lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{-}} \cot (x)
Escolha uma opção:
a. \infty
b. -\infty
C. \pi
d. 0
e. -\pi

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to(\pi/2)^{-}}\cot(x)
ou seja, determinar para que valor a função \cot(x) se aproxima quando x tende a \pi/2 pela esquerda. O conteúdo usado será a definição de \cot(x) em termos de \sin(x) e \cos(x) e o comportamento dessas funções próximas a \pi/2.

Passo 2

Usamos a identidade
\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}.
Agora analisamos separadamente os limites de \cos(x) e \sin(x) quando x\to(\pi/2)^{-}:
\lim_{x\to(\pi/2)^{-}}\cos(x)=0^{+},\quad\lim_{x\to(\pi/2)^{-}}\sin(x)=1^{-}.
Aqui \cos(x) tende a zero vindo de valores positivos (pois em (0,\pi/2) temos \cos(x)>0) e \sin(x) tende a 1, também por valores positivos.

Passo 3

Como \cos(x) fica muito pequeno (próximo de 0^{+}) e \sin(x) fica próximo de 1, o quociente
\frac{\cos(x)}{\sin(x)}
tende a
\frac{0^{+}}{1^{-}} = 0^{+}.
Logo
\lim_{x\to(\pi/2)^{-}}\cot(x)=0.

Resposta

d. 0

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