Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, precisamos encontrar o limite
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A sequência é dada para
inteiro positivo crescendo até infinito. - Aparece o termo
, que é uma função oscilante, mas conhecida por satisfazer para todo . - Os termos de maior ordem em numerador e denominador são proporcionais a
.
Passo 2
Primeiro vamos manipular algebricamente a expressão para evidenciar os termos que tendem a zero quando
. Dividimos numerador e denominador por
:
Isso deixa explícito que a sequência depende de
, de
e de termos com
.
Passo 3
Analisemos os termos com
separados:
- Temos
. Como , . (Regra básica: constantes divididas por tendem a zero.) - Para
, use que . Então Como quando , pelo princípio do aperto (teorema do sanduíche) segue que
Observação intuitiva: mesmo que
oscile, ele está multiplicado por
, que anula essa oscilação no limite.
Passo 4
Agora juntamos os limites das partes:
- Pelo passo anterior,
. - E
.
Usamos a propriedade de limites: se
e
com
, então
. Aqui o denominador tende a
, portanto a condição está satisfeita.
Passo 5
Aplicando a propriedade do quociente de limites, temos
Portanto a sequência converge e seu limite é
.
Resposta
A sequência converge e
.