Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, encontre o limite.
a_{n}=\frac{5 n+4}{2 \cos ^{2}(n)+3 n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{5 n+4}{2 \cos^{2}(n)+3 n},
e pede para determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, precisamos encontrar o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A sequência é dada para n inteiro positivo crescendo até infinito.
  • Aparece o termo \cos^{2}(n), que é uma função oscilante, mas conhecida por satisfazer 0\le \cos^{2}(n)\le 1 para todo n.
  • Os termos de maior ordem em numerador e denominador são proporcionais a n.

Passo 2

Primeiro vamos manipular algebricamente a expressão para evidenciar os termos que tendem a zero quando n\to\infty. Dividimos numerador e denominador por n:
a_{n} = \frac{5n+4}{2\cos^{2}(n)+3n} = \frac{\dfrac{5n}{n}+\dfrac{4}{n}}{\dfrac{2\cos^{2}(n)}{n}+\dfrac{3n}{n}} = \frac{5+\dfrac{4}{n}}{3+\dfrac{2\cos^{2}(n)}{n}}.
Isso deixa explícito que a sequência depende de 5, de 3 e de termos com 1/n.

Passo 3

Analisemos os termos com 1/n separados:
  • Temos \dfrac{4}{n}. Como n\to\infty, \dfrac{4}{n}\to 0. (Regra básica: constantes divididas por n tendem a zero.)
  • Para \dfrac{2\cos^{2}(n)}{n}, use que 0\le \cos^{2}(n)\le 1. Então 0 \le \frac{2\cos^{2}(n)}{n} \le \frac{2}{n}.Como \dfrac{2}{n}\to 0 quando n\to\infty, pelo princípio do aperto (teorema do sanduíche) segue que \frac{2\cos^{2}(n)}{n}\to 0.
Observação intuitiva: mesmo que \cos^{2}(n) oscile, ele está multiplicado por 1/n, que anula essa oscilação no limite.

Passo 4

Agora juntamos os limites das partes:
  • Pelo passo anterior, \displaystyle 5+\frac{4}{n}\to 5.
  • E \displaystyle 3+\frac{2\cos^{2}(n)}{n}\to 3.
Usamos a propriedade de limites: se x_n\to x e y_n\to y com y\neq 0, então \dfrac{x_n}{y_n}\to \dfrac{x}{y}. Aqui o denominador tende a 3\neq 0, portanto a condição está satisfeita.

Passo 5

Aplicando a propriedade do quociente de limites, temos
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{\lim_{n\to\infty}\left(5+\dfrac{4}{n}\right)}{\lim_{n\to\infty}\left(3+\dfrac{2\cos^{2}(n)}{n}\right)} = \frac{5}{3}.
Portanto a sequência converge e seu limite é \dfrac{5}{3}.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=\frac{5}{3}.

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