Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem.
\left(\frac{4 \cdot \ln (n)}{n^{2}}\right);

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_n = \frac{4\ln(n)}{n^2}\,,
isto é, calcular
\lim_{n\to\infty}a_n
para decidir se ela converge (para algum valor finito) ou diverge.

Passo 2

Para facilitar, observamos primeiro o limite sem o fator 4:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n^2}.
Note que \ln(n)\to\infty e n^2\to\infty, então temos uma forma \tfrac{\infty}{\infty}, o que permite usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{d}{dn}\ln(n)}{\frac{d}{dn}n^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{2n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n^2} = 0.

Passo 4

Como
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{4\ln(n)}{n^2} = 4\cdot\underbrace{\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n^2}}_{=0} = 0,
concluímos que a_n converge.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}\frac{4\ln(n)}{n^2}=0.

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