Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente: \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{7}\right)^{n};
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\bigl(\tfrac{2}{7}\bigr)^{n}.
O tema é séries infinitas, em particular séries geométricas. Para resolver, vamos usar o critério de convergência de uma série geométrica e, se convergir, calcular sua soma.
Passo 2
Identificamos que a série é geométrica com termo geral
a_n = \bigl(\tfrac{2}{7}\bigr)^{n}.
O primeiro termo é
a_0 = \bigl(\tfrac{2}{7}\bigr)^{0} = 1,
e a razão é
r = \tfrac{2}{7}.
Passo 3
O critério de convergência para séries geométricas diz que