Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem.
\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}-n}\right);

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência (a_n) definida por
a_n = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}-n}.
O conteúdo envolvido é o estudo de limite de sequência quando n\to\infty, usando racionalização de denominador para simplificar expressões com raiz.

Passo 2

Vamos racionalizar o denominador, multiplicando numerador e denominador por \sqrt{n^2+1}+n:
a_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}-n} \cdot \frac{\sqrt{n^2+1}+n}{\sqrt{n^2+1}+n} = \frac{\sqrt{n^2+1}+n}{(\sqrt{n^2+1})^2 - n^2}.

Passo 3

No denominador temos (\sqrt{n^2+1})^2 - n^2 = n^2+1 - n^2 = 1. Portanto
a_n = \sqrt{n^2+1} + n.

Passo 4

Para n\to\infty, note que
\sqrt{n^2+1} = n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}} = n\Bigl(1 + o(1)\Bigr) = n + o(n).
Logo
a_n = \sqrt{n^2+1}+n = n + o(n) + n = 2n + o(n)\to +\infty.
Isso mostra que a sequência não converge para um valor finito, mas cresce sem limite.

Resposta

A sequência diverge, pois \lim_{n\to\infty}a_n = +\infty.

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