Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem.
\left(\frac{4^{3 n}-5}{4^{2 n}}\right);

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da sequência
a_n = \frac{4^{3n}-5}{4^{2n}}.
O conteúdo aqui é limites de sequências envolvendo potências, e vamos precisar usar propriedades de expoentes e de limites de funções exponenciais.

Passo 2

Reescrevemos a_n para separar os termos que dominam o comportamento quando n\to\infty. Como
4^{3n} = 4^{2n}\cdot 4^n,
temos
a_n = \frac{4^{2n}\cdot 4^n - 5}{4^{2n}} =4^n \;-\;\frac{5}{4^{2n}}.

Passo 3

Analisamos o limite de cada parcela:
– A primeira parcela é \lim_{n\to\infty}4^n. Como 4>1, temos
\lim_{n\to\infty}4^n = +\infty.
– A segunda parcela é \displaystyle\frac{5}{4^{2n}}. Como 4^{2n}\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{5}{4^{2n}} = 0.

Passo 4

Pela soma dos limites (quando um limite é infinito e o outro é finito),
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}4^n \;-\;\lim_{n\to\infty}\frac{5}{4^{2n}} =+\infty - 0 =+\infty.
Portanto, a sequência não converge para um número finito, mas diverge para +\infty.

Resposta

A sequência diverge (mais precisamente, a_n\to+\infty).

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