Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem.
\left(\frac{4 n^{4}+1}{n+2 n^{2}-1}\right);

Passo 1

O enunciado dá a sequência \bigl(a_n\bigr) definida por
a_n = \frac{4n^4 + 1}{n + 2n^2 - 1}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência usando comportamento assintótico de polinômios.

Passo 2

Para ver o comportamento quando n\to\infty, dividimos numerador e denominador por n^2, a maior potência significativa no denominador:
a_n = \frac{4n^4 + 1}{n + 2n^2 - 1} = \frac{\displaystyle\frac{4n^4 + 1}{n^2}}{\displaystyle\frac{n + 2n^2 - 1}{n^2}} = \frac{4n^2 + \tfrac{1}{n^2}}{2 + \tfrac{1}{n} - \tfrac{1}{n^2}}.

Passo 3

À medida que n\to\infty, o numerador
4n^2 + \frac{1}{n^2}\;\longrightarrow\;+\infty
e o denominador
2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}\;\longrightarrow\;2.
Logo
\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{+\infty}{2} = +\infty,
ou seja, a sequência não se aproxima de número finito algum, mas cresce sem limite.

Resposta

A sequência diverge para +\infty.

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