Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem.
\left(\frac{n^{2}}{2 n-1}-\frac{n^{2}}{2 n+1}\right);

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_n = \frac{n^{2}}{2n-1}\;-\;\frac{n^{2}}{2n+1}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é cálculo de limites de sequências racionais.

Passo 2

Vamos simplificar a diferença de frações. Primeiro, escrevemos num único quociente:
a_n = \frac{n^{2}(2n+1) - n^{2}(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)}.
No numerador temos
n^{2}\bigl((2n+1)-(2n-1)\bigr) = n^{2}\cdot 2 = 2n^{2},
portanto
a_n = \frac{2n^{2}}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2n^{2}}{4n^{2}-1}.

Passo 3

Para achar \lim_{n\to\infty}a_n, dividimos numerador e denominador por n^2:
a_n = \frac{2}{4 - \tfrac{1}{n^{2}}}.
Como \tfrac{1}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{2}{4-0} = \frac{1}{2}.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} \Bigl(\frac{n^{2}}{2n-1}-\frac{n^{2}}{2n+1}\Bigr) \;=\;\frac{1}{2}.

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