Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem.
\left(\frac{3 n^{3}+1}{n+2 n^{3}}\right);

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_n = \frac{3n^{3}+1}{n + 2n^{3}}
converge ou diverge. O conteúdo principal é cálculo de limite de sequência racional em n, usando comparação de termos de maior grau.

Passo 2

Para encontrar \lim_{n\to\infty}a_n, dividimos numerador e denominador pelo maior grau de n que aparece, que é n^{3}. Assim,
a_n = \frac{3n^{3}+1}{n + 2n^{3}} = \frac{n^{3}\bigl(3 + \tfrac{1}{n^{3}}\bigr)}{n^{3}\bigl(\tfrac{1}{n^{2}} + 2\bigr)} = \frac{3 + \tfrac{1}{n^{3}}}{\tfrac{1}{n^{2}} + 2}.

Passo 3

Como \tfrac{1}{n^{3}}\to 0 e \tfrac{1}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty, fica
\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{3 + 0}{0 + 2} = \frac{3}{2}.
Portanto a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é \tfrac{3}{2}.

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