Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem.
\left(\frac{\sqrt{n}}{n+1} \cdot \cos \left(e^{n^{2}} \cdot n\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_n = \frac{\sqrt{n}}{n+1}\,\cos\bigl(e^{n^{2}}\cdot n\bigr).
O conteúdo envolvido é análise de sequências reais e vamos usar o Teorema do Confronto (ou “Sandwich”) aproveitando que o fator \cos(\cdot) é limitado e o fator \frac{\sqrt{n}}{n+1} tende a zero.

Passo 2

Estudamos primeiro o comportamento de
b_n = \frac{\sqrt{n}}{n+1}.
Dividindo numerador e denominador por \sqrt{n}, obtemos
b_n = \frac{1}{\sqrt{n}\,\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)}.
Como \sqrt{n}\to\infty e 1+\tfrac1n\to1, segue que
\lim_{n\to\infty} b_n = 0.

Passo 3

Sabemos que para todo x real vale \bigl|\cos(x)\bigr|\le1. Logo
\bigl|a_n\bigr| = \biggl|\frac{\sqrt{n}}{n+1}\,\cos\bigl(e^{n^{2}}n\bigr)\biggr| \le \frac{\sqrt{n}}{n+1} = b_n.
Como \lim_{n\to\infty}b_n=0, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n}}{n+1}\,\cos\bigl(e^{n^{2}}n\bigr) = 0.

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