Determine se as sequências convergem ou divergem:
b_{n}=\frac{2^{n}+3^{n}}{2^{n}-3^{n}}\

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
b_{n} = \frac{2^{n} + 3^{n}}{2^{n} - 3^{n}}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência e vamos usar a ideia de termo dominante (aquela potência que cresce mais rápido) e sequência geométrica de razão \tfrac{2}{3}.

Passo 2

Para destacar o termo dominante, dividimos numerador e denominador por 3^{n}, obtendo
b_{n} = \frac{2^{n} + 3^{n}}{2^{n} - 3^{n}} = \frac{\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n} + 1}{\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n} - 1}.

Passo 3

Como \bigl|\tfrac{2}{3}\bigr|<1, sabemos que
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{n} = 0.

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão de b_{n}, temos
\lim_{n\to\infty}b_{n} = \frac{0 + 1}{0 - 1} = -1.
Portanto, a sequência convergindo para -1 é convergente.

Resposta

A sequência \{b_{n}\} converge e
\lim_{n\to\infty}b_{n} = -1.

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