Mostre que as sequências são monótonas (crescentes ou decrescentes):
b_{n}=\frac{1}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado define a sequência
b_{n} = \frac{1}{2^{n}},
para n\in\mathbb{N}, e pede para mostrar se ela é monótona crescente ou decrescente. Para isso, precisamos comparar o termo geral b_{n} com o termo seguinte b_{n+1}.

Passo 2

Escrevemos o termo seguinte em função de b_{n}:
b_{n+1} = \frac{1}{2^{\,n+1}} = \frac{1}{2\cdot 2^{n}} = \frac{1}{2}\,\frac{1}{2^{n}} = \frac{1}{2}\,b_{n}.

Passo 3

Como \frac{1}{2}>0 e b_{n}>0 para todo n, segue que
b_{n+1} = \frac{1}{2}\,b_{n} < b_{n}.
Isso mostra que a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência \displaystyle b_{n}=\frac{1}{2^{n}} é monótona estritamente decrescente.

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