Determine se as sequências convergem ou divergem. Se ela convergir, determine seu limite:
a_{n}=n \cos (n \pi)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = n \cos(n\pi)
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é reconhecer identidades trigonométricas em sequência e aplicar critérios de convergência de sequência.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos(n\pi) = (-1)^{n}.
Portanto
a_{n} = n \cdot (-1)^{n}.

Passo 3

Observe que o valor absoluto de a_{n} é
\lvert a_{n}\rvert = \lvert n(-1)^{n}\rvert = n.
Como n\to\infty, segue que \lvert a_{n}\rvert\to\infty. Logo a sequência é não só não limitada, mas os termos crescem em módulo.

Passo 4

Um requisito necessário para convergência de sequência é que ela seja limitada. Como (a_{n}) não é limitada e seus termos não tendem a um único valor finito, concluímos que ela diverge.

Resposta

A sequência diverge; não há limite finito.

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