\int_{1}^{e} \frac{3}{[\ln (x)]^{2} \cdot x} dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{e} \frac{3}{[\ln(x)]^{2}\,x}\,dx.
O conteúdo aqui é integral imprópria e substituição simples. Vamos ver que há singularidade em x=1 (pois \ln(1)=0) e usar a troca de variável u=\ln(x).

Passo 2

Primeiro notamos que em x=1 o integrando explode, então reescrevemos a integral como limite
\lim_{a\to1^+}\int_{a}^{e}\frac{3}{[\ln(x)]^{2}\,x}\,dx.
Agora fazemos a substituição
u = \ln(x), \quad du = \frac{dx}{x}.
Quando x=a\to1^+ temos u\to0^+ e quando x=e temos u=1.

Passo 3

Sob a troca de variável a integral torna-se
\int_{a}^{e}\frac{3}{[\ln(x)]^{2}}\frac{dx}{x} = \int_{u=\ln(a)}^{u=1} \frac{3}{u^{2}}\,du.
Isto é
\lim_{u_0\to0^+}\int_{u_0}^{1}3u^{-2}\,du.

Passo 4

Calculamos a primitiva de 3u^{-2}:
\int 3u^{-2}\,du =3\int u^{-2}\,du =3\bigl(-u^{-1}\bigr) =-\frac{3}{u}.
Logo
\int_{u_0}^{1}3u^{-2}\,du =\Bigl[-\frac{3}{u}\Bigr]_{u_0}^{1} =-\frac{3}{1} -\Bigl(-\frac{3}{u_0}\Bigr) =-3 + \frac{3}{u_0}.

Passo 5

Agora fazemos u_0\to0^+. O termo \frac{3}{u_0} tende a +\infty. Portanto
\lim_{u_0\to0^+}\Bigl(-3 + \frac{3}{u_0}\Bigr) = +\infty,
ou seja, a integral não converge para um valor finito.

Resposta

A integral diverge (é igual a +\infty).

Exercícios relacionados