\int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}-1} dx

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral impróprio
\int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}-1}\,dx.
Percebemos que o integrando tem assíntota vertical em x=1, pois x^{2}-1=0 ali. Vamos usar frações parciais para integrar e depois tratar a singularidade como limite.

Passo 2

Decompondo em frações parciais:
\frac{1}{x^{2}-1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}.
Multiplicando por x^{2}-1 obtemos
1 = A(x+1) + B(x-1).
Igualando coeficientes de x e termos constantes:
A + B = 0, \quad A - B = 1
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A = \tfrac12, \quad B = -\tfrac12.
Portanto
\frac{1}{x^{2}-1} = \frac{1}{2}\,\frac{1}{x-1} - \frac{1}{2}\,\frac{1}{x+1}.
Integrando indefinidamente:
\int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x-1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x+1\rvert + C.

Passo 3

Como há singularidade em x=1, definimos
\int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}-1}\,dx = \lim_{a\to1^{+}} \int_{a}^{4} \frac{1}{x^{2}-1}\,dx.
Para a>1, usando a primitiva:
\int_{a}^{4} \frac{1}{x^{2}-1}\,dx = \Bigl[\tfrac12\ln\lvert x-1\rvert - \tfrac12\ln\lvert x+1\rvert\Bigr]_{x=a}^{x=4}.

Passo 4

Avaliando a diferença de limites:
\int_{a}^{4}\frac{1}{x^{2}-1}\,dx = \tfrac12\bigl(\ln\lvert4-1\rvert - \ln\lvert4+1\rvert\bigr) - \tfrac12\bigl(\ln\lvert a-1\rvert - \ln\lvert a+1\rvert\bigr)
= \tfrac12\ln\frac{3}{5} - \tfrac12\ln\frac{a-1}{a+1}.
Quando a\to1^{+}, temos \frac{a-1}{a+1}\to0^{+} e
\ln\frac{a-1}{a+1}\to -\infty,
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- \tfrac12\ln\frac{a-1}{a+1} \to +\infty
e o integral diverge.

Resposta

O integral é divergente (tende a +\infty).

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