Determine se as sequências convergem ou divergem. Se ela convergir, determine seu limite:
a_{n}=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\'

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
a_{n} = \Bigl(1+\frac{2}{n}\Bigr)^{\tfrac{1}{n}}
e, caso exista, determinar seu limite. O conteúdo envolve limites de sequências, transformação pela função logaritmo e uso da continuidade da exponencial.

Passo 2

Como a_{n}>0 para todo n, é natural considerar
b_{n} = \ln(a_{n}) = \frac{1}{n}\,\ln\!\Bigl(1+\frac{2}{n}\Bigr).
Se b_{n} convergir para um valor L, então
a_{n} = e^{\,b_{n}} \to e^{L}.

Passo 3

Para avaliar \lim_{n\to\infty}b_{n}, usamos a expansão de Taylor para \ln(1+x) em x\to0:
\ln(1+x) = x - \frac{x^{2}}{2} + O(x^{3}).
Tomando x = \tfrac{2}{n}, obtemos
\ln\!\Bigl(1+\tfrac{2}{n}\Bigr) = \frac{2}{n} - \frac{1}{2}\,\frac{4}{n^{2}} + O\Bigl(\tfrac{1}{n^{3}}\Bigr) = \frac{2}{n} - \frac{2}{n^{2}} + O\Bigl(\tfrac{1}{n^{3}}\Bigr).
Logo
b_{n} = \frac{1}{n}\Bigl(\frac{2}{n} - \frac{2}{n^{2}} + O(\tfrac{1}{n^{3}})\Bigr) = \frac{2}{n^{2}} - \frac{2}{n^{3}} + O\Bigl(\tfrac{1}{n^{4}}\Bigr),
e portanto
\lim_{n\to\infty}b_{n} = 0.

Passo 4

Como a função exponencial é contínua, concluímos
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}e^{\,b_{n}} = e^{\,\lim b_{n}} = e^{0} = 1.
Logo a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 1.

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