Determine se as sequências convergem ou divergem. Se ela convergir, determine seu limite:
Passo 1
O enunciado fornece a sequência
e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, determinar
. O conteúdo principal aqui é o uso de propriedades de logaritmo e exponencial para avaliar limites de sequência.
Passo 2
Para simplificar, definimos
Como
, temos
Nossa estratégia será calcular
e depois usar a continuidade da exponencial para voltar a
.
Passo 3
Analisando
vemos que, quando
, o argumento do logaritmo tende a 1. Usando a expansão
para
(aqui
), obtemos
logo
Passo 4
Como a função exponencial é contínua, temos
Portanto, a sequência converge e seu limite é 1.
Resposta
A sequência converge e
.