Determine se as sequências convergem ou divergem. Se ela convergir, determine seu limite:
a_{n}=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\'

Passo 1

O enunciado fornece a sequência
a_{n} = \Bigl(1 + \frac{2}{n}\Bigr)^{\frac{1}{n}}
e pede para verificar se ela converge e, em caso afirmativo, determinar
\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}. O conteúdo principal aqui é o uso de propriedades de logaritmo e exponencial para avaliar limites de sequência.

Passo 2

Para simplificar, definimos
b_{n} = \ln a_{n}.
Como \ln\bigl(x^{y}\bigr)=y\ln(x), temos
b_{n} = \frac{1}{n}\,\ln\!\Bigl(1 + \frac{2}{n}\Bigr).
Nossa estratégia será calcular \lim_{n\to\infty}b_{n} e depois usar a continuidade da exponencial para voltar a a_{n}.

Passo 3

Analisando
b_{n} = \frac{\ln\!\bigl(1 + \tfrac{2}{n}\bigr)}{n},
vemos que, quando n\to\infty, o argumento do logaritmo tende a 1. Usando a expansão
\ln(1+x)\sim x para x\to0 (aqui x=2/n), obtemos
\ln\!\Bigl(1 + \frac{2}{n}\Bigr)\sim \frac{2}{n},
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\lim_{n\to\infty}b_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\cdot\frac{2}{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^{2}} = 0.

Passo 4

Como a função exponencial é contínua, temos
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}e^{b_{n}} = e^{\lim_{n\to\infty}b_{n}} = e^{0} = 1.
Portanto, a sequência converge e seu limite é 1.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=1.

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