Determine se as sequências convergem ou divergem. Justifique.
an=raiz[n]2^n+1

Passo 1

Temos a sequência an = raiz[n]2^n+1. O conteúdo envolvido é limites de sequências e propriedades de potências. Para resolver, vamos reescrever an usando regras de expoentes e depois aplicar limite.

Passo 2

Usando a definição de raiz enésima e propriedade de potência, escrevemos
raiz[n]2^n+1 = (2^n+1)^1/n

Passo 3

Aplicamos a regra de potência para reescrever o expoente:
(2^n+1)^1/n = 2^(n+1)/n = 2^1 + 1n

Passo 4

Observamos que limntoinfty1n = 0. A função exponencial f(x)=2^x é contínua, então
limntoinfty2^1 + 1n = 2^limntoinfty(1 + 1n) = 2^1 = 2
Portanto, o limite de an existe e é finito.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan = 2.

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