Calcule apenas duas das integrais abaixo.
;
Sugestões:
(i)
e
. (ii)
,
. (iii) Use integração por partes duas vezes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao estudo de integração, mais especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes duas vezes e depois resolver uma equação para encontrar a resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Vamos definir:
Passo 3
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Agora, temos uma nova integral
que precisamos resolver.
Passo 4
Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa nova integral. Desta vez, definimos:
Passo 5
Aplicando a fórmula novamente:
Perceba que a integral que apareceu aqui é a mesma que começamos a resolver inicialmente, ou seja,
. Vamos chamar essa integral de
:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos somar
dos dois lados para isolar
:
Resposta
Portanto, a integral de
em relação a
é: