Calcule apenas duas das integrais abaixo.
integral e^x cos (x) d x;

Sugestões:

(i) u=1-x du=-dx e x^2=(1-u)^2. (ii) u=sen(x / 2) du=(1 / 2) cdot cos (x / 2) dx, 1u(1-u^2)=1u+1 / 2(1-u)-1 / 2(1+u). (iii) Use integração por partes duas vezes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao estudo de integração, mais especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes duas vezes e depois resolver uma equação para encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u = e^x Rightarrow du = e^x , dx e dv = cos(x) , dx Rightarrow v = integral cos(x) , dx = sin(x) . Vamos definir:

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral e^x cos(x) , dx = e^x cdot sin(x) - integral sin(x) cdot e^x , dx
Agora, temos uma nova integral que precisamos resolver.

Passo 4

Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa nova integral. Desta vez, definimos:
u = e^x Rightarrow du = e^x , dx
dv = sin(x) , dx Rightarrow v = -cos(x)

Passo 5

Aplicando a fórmula novamente:
integral e^x sin(x) , dx = -e^x cos(x) + integral cos(x) cdot e^x , dx
Perceba que a integral que apareceu aqui é a mesma que começamos a resolver inicialmente, ou seja, I = integral e^x cos(x) , dx . Vamos chamar essa integral de I = e^x sin(x) - ( -e^x cos(x) + I ) :
I = e^x sin(x) + e^x cos(x) - I
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos somar I + I = e^x sin(x) + e^x cos(x) dos dois lados para isolar 2I = e^x (sin(x) + cos(x)) :
I = e^x2 (sin(x) + cos(x)) + C

Resposta

Portanto, a integral de integral e^x cos(x) , dx = e^x2 (sin(x) + cos(x)) + C em relação a é:

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