Determine se as séries convergem ou divergem. Explicite qual teste foi utilizado.
sumk=1^infty (n+2)!4!n!2^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty (n+2)!4!,n!,2^n converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas de termos positivos e vamos precisar usar o teste da razão.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral. Como (n+2)!/n! = (n+1)(n+2), temos
an = (n+2)!4!,n!,2^n = (n+1)(n+2)24,2^n

Passo 3

Agora aplicamos o teste da razão. Calculamos
an+1an = (n+2+1)(n+2)24,2^n+1(n+1)(n+2)24,2^n = (n+3)(n+2)2(n+1)(n+2) = n+32(n+1)

Passo 4

Tomando o limite quando ntoinfty temos
L = limntoinfty n+32(n+1) = 12 < 1

Passo 5

Pelo teste da razão, se L<1 a série converge absolutamente, logo converge.
Concluímos que a série converge.

Resposta

A série converge (pelo teste da razão, com limite da razão igual a 1/2 < 1).

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