Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
sumk=1^infty(-1)^k 2^kk!

Passo 1

O enunciado pede para identificar se a série sumk=1^infty(-1)^k2^kk! é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é teste de convergência de séries, em particular a convergência absoluta, que podemos verificar usando o teste da razão ou reconhecendo a expansão de e^x.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série das normas dos termos: sumk=1^infty |(-1)^k2^kk!| = sumk=1^infty 2^kk! Aplicando o teste da razão, calculamos
L = limktoinfty 2^k+1/(k+1)!2^k/k! = limktoinfty 2k+1 = 0

Passo 3

Como L=0<1, a série sumk=1^infty2^k/k! converge. Logo, a série original converge absolutamente, e portanto converge.

Passo 4

Concluímos que a convergência é absoluta, não só condicional.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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