Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
sumk=1^infty(-1)^k+1 k^2+22 k^3+1

Passo 1

A série dada é uma série alternada da forma sumk=1^infty(-1)^k+1bk, em que bk=k^2+22k^3+1. O conteúdo principal aqui é o Teste de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta via comparação.

Passo 2

Precisamos verificar as duas condições do Teste de Leibniz: (1) bk deve tender a zero quando ktoinfty e (2) bk deve ser decrescente para todo k suficientemente grande. Primeiro, calculemos o limite:
limktoinftybk=limktoinftyk^2+22k^3+1=limktoinftyk^2l(1+2/k^2r)k^3l(2+1/k^3r)=limktoinfty1+2/k^22k+1/k^2=0

Passo 3

Para mostrar que bk é decrescente, considere a função f(x)=x^2+22x^3+1 e calcule sua derivada para x>=1:
f'(x)=(2x)(2x^3+1)-(x^2+2)(6x^2)(2x^3+1)^2 = 4x^4+2x-6x^4-12x^2(2x^3+1)^2=-2x(x^3+6x-1)(2x^3+1)^2

Passo 4

Para x>=1, temos x^3+6x-1>0, logo f'(x)<0. Isso mostra que bk é decrescente a partir de k=1. Pelo Teste de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 5

Agora, para a convergência absoluta, analisamos sum bk=sumk^2+22k^3+1. Compare com a série harmônica sum1/k.
limktoinftybk1/k=limktoinfty(k^2+2)/(2k^3+1)1/k=limktoinftyk^3+2k2k^3+1=12neq0

Passo 6

Como sum1/k diverge e bksimtfrac12k, concluímos que sum bk também diverge. Portanto, a série não é absolutamente convergente, mas é convergente condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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