Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
A série dada é uma série alternada da forma
, em que
. O conteúdo principal aqui é o Teste de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta via comparação.
Passo 2
Precisamos verificar as duas condições do Teste de Leibniz: (1)
deve tender a zero quando
e (2)
deve ser decrescente para todo
suficientemente grande. Primeiro, calculemos o limite:
Passo 3
Para mostrar que
é decrescente, considere a função
e calcule sua derivada para
:
Passo 4
Para
, temos
, logo
. Isso mostra que
é decrescente a partir de
. Pelo Teste de Leibniz, a série alternada converge.
Passo 5
Agora, para a convergência absoluta, analisamos
. Compare com a série harmônica
.
Passo 6
Como
diverge e
, concluímos que
também diverge. Portanto, a série não é absolutamente convergente, mas é convergente condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente.