Use derivação ou integração de séries para determinar uma representação em série de potências para a função f(x)=ln (1+x). Determine seu intervalo de convergência e justifique.

Passo 1

O enunciado pede para usar derivação ou integração de séries de potências para encontrar uma representação em série para a função f(x)=ln(1+x). O tópico envolvido é séries de Taylor/Maclaurin e vamos precisar lembrar do processo de derivar ou integrar séries term a term para obter a forma desejada.

Passo 2

Começamos derivando f(x) para simplificar a série. Como f'(x)=ddxln(1+x)=11+x, reconhecemos que para |x|<1 temos a expansão da série geométrica:
11+x=sumn=0^infty(-1)^n x^n

Passo 3

Agora integramos essa expressão termo a termo de 0 até x. Como ln(1+0)=0, obtemos
ln(1+x)=integral0^x11+t,dt=integral0^xsumn=0^infty(-1)^n t^n,dt=sumn=0^infty(-1)^nx^n+1n+1

Passo 4

Para deixar na forma tradicional de série a partir de n=1, basta reindexar trocando n+1 por k. Assim:
ln(1+x)=sumk=1^infty(-1)^k-1x^kk

Passo 5

O raio de convergência R dessa série vem do critério da razão ou pelo fato de termos partido de uma série geométrica com raio 1. Logo R=1 e a convergência é garantida para |x|<1.

Passo 6

Finalmente, analisamos os extremos: para x=1 a série fica sumk=1^infty(-1)^k-1/k, que converge (série alternada de Leibniz); para x=-1 ln0, ou seja diverge. Portanto o intervalo de convergência é -1.

Resposta

ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn,para -1

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