Use derivação ou integração de séries para determinar uma representação em série de potências para a função
. Determine seu intervalo de convergência e justifique.
Passo 1
O enunciado pede para usar derivação ou integração de séries de potências para encontrar uma representação em série para a função
. O tópico envolvido é séries de Taylor/Maclaurin e vamos precisar lembrar do processo de derivar ou integrar séries term a term para obter a forma desejada.
Passo 2
Começamos derivando
para simplificar a série. Como
, reconhecemos que para
temos a expansão da série geométrica:
Passo 3
Agora integramos essa expressão termo a termo de 0 até
. Como
, obtemos
Passo 4
Para deixar na forma tradicional de série a partir de
, basta reindexar trocando
por
. Assim:
Passo 5
O raio de convergência
dessa série vem do critério da razão ou pelo fato de termos partido de uma série geométrica com raio
. Logo
e a convergência é garantida para
.
Passo 6
Finalmente, analisamos os extremos: para
a série fica
, que converge (série alternada de Leibniz); para
dá
, ou seja diverge. Portanto o intervalo de convergência é
.