Determine se as sequências convergem ou divergem.
a_{n}=\ln (\sqrt[n]{n})

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
\displaystyle a_{n}=\ln\bigl(\sqrt[n]{n}\bigr).
O conteúdo principal é limite de sequência, uso de propriedades de logaritmo e raiz enésima.

Passo 2

Usamos a propriedade
\sqrt[n]{n}=n^{1/n}.
Portanto
a_{n}=\ln\bigl(n^{1/n}\bigr)=\frac{1}{n}\,\ln(n).

Passo 3

Para calcular
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}
podemos estender para x real e aplicar o teorema de L’Hôpital na função
\displaystyle f(x)=\frac{\ln(x)}{x}.
Derivando numerador e denominador,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac{d}{dx}\ln(x)}{\tfrac{d}{dx}x} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} =0.
Logo \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 4

Concluímos que a sequência \bigl(a_{n}\bigr) converge e que seu limite é 0.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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