Suponha que as sequências \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) convirjam, respectivamente, para L e M e que c seja uma constante. Então:
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)=\frac{L}{M}, \quad M \neq 0

Passo 1

O enunciado diz que as sequências \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) convergem para L e M, respectivamente, com M\neq0. Queremos provar que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{L}{M}.

Passo 2

Como b_{n}\to M e M\neq0, existe N_{2} tal que, para todo n\ge N_{2},
|b_{n}-M|<\frac{|M|}{2} \quad\Longrightarrow\quad |b_{n}|> |M| - \frac{|M|}{2} = \frac{|M|}{2}.

Passo 3

Dado \varepsilon>0, como a_{n}\to L existe N_{1} tal que, para todo n\ge N_{1},
|a_{n}-L|<\frac{\varepsilon\,|M|}{4}.
Como b_{n}\to M, podemos escolher N_{2} maior (se preciso) de modo que, para todo n\ge N_{2},
|b_{n}-M|<\min\!\Bigl(\frac{|M|}{2},\;\frac{\varepsilon\,|M|^{2}}{4|L|}\Bigr).
Então, para n\ge N=\max(N_{1},N_{2}) vale simultaneamente
|a_{n}-L|<\frac{\varepsilon\,|M|}{4}, \quad |b_{n}-M|<\frac{\varepsilon\,|M|^{2}}{4|L|} \quad\text{e}\quad |b_{n}|>\frac{|M|}{2}.

Passo 4

Para n\ge N calculamos
\Bigl|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{L}{M}\Bigr| =\biggl|\frac{a_{n}M - L\,b_{n}}{b_{n}M}\biggr| =\frac{\bigl|(a_{n}-L)M + L(M-b_{n})\bigr|}{|b_{n}|\;|M|} \le \frac{|M|\,|a_{n}-L| + |L|\,|b_{n}-M|}{|b_{n}|\;|M|}.
Como |b_{n}|>\tfrac{|M|}{2},
\Bigl|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{L}{M}\Bigr| \le \frac{2}{|M|}\,|a_{n}-L| \;+\;\frac{2|L|}{|M|^{2}}\,|b_{n}-M| < \frac{2}{|M|}\cdot\frac{\varepsilon\,|M|}{4} + \frac{2|L|}{|M|^{2}}\cdot\frac{\varepsilon\,|M|^{2}}{4|L|} = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.

Passo 5

Concluímos que para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para n\ge N,
\Bigl|\frac{a_{n}}{b_{n}}-\frac{L}{M}\Bigr|<\varepsilon,
ou seja, \lim_{n\to\infty}\tfrac{a_{n}}{b_{n}}=L/M.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{L}{M}.

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