Determine se as sequências convergem ou divergem.
a_{n}=(-1)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência (a_n) definida por
a_n = (-1)^n
converge ou diverge. O conteúdo é convergência de sequências numéricas e vamos precisar usar a definição de limite de sequência.

Passo 2

Recordando a definição: dizemos que (a_n) converge para L se, para todo \varepsilon > 0, existe N tal que \lvert a_n - L\rvert < \varepsilon sempre que n\ge N. Se não existir um único L que satisfaça isso, a sequência diverge.

Passo 3

Observe as subsequências pares e ímpares:
  • Para n=2k (pares),
a_{2k} = (-1)^{2k} = 1.
  • Para n=2k+1 (ímpares),
a_{2k+1} = (-1)^{2k+1} = -1.
Logo, os termos não se aproximam de um único valor, mas alternam entre 1 e -1.

Passo 4

Como não há um valor L único tal que todos os termos de (a_n) fiquem arbitrariamente próximos de L para n grande, a sequência não satisfaz a definição de convergência.

Resposta

A sequência (a_n) diverge.

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