Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
vn=(1+1n)^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
vn=l(1+1nr)^n
e decidir se ela converge ou diverge. Vamos usar o conceito de limite de sequência e a técnica de tomar logaritmo para transformar o problema em um quociente adequado para o Teorema de L’Hôpital.

Passo 2

Definimos
an=ln vn=lnl(1+1nr)^n=n,lnl(1+1nr).
Então
limntoinftyvn=expl(limntoinftyanr),
contanto que o limite de an exista finito.

Passo 3

Escrevemos
an=n,lnl(1+1nr)=lnl(1+tfrac1nr)tfrac1n.
No limite ntoinfty, o numerador e o denominador tendem a zero, então aplicamos L’Hôpital:
limntoinftyan =limntoinftylnl(1+tfrac1nr)tfrac1n =limntoinfty ddnl[ln(1+tfrac1n)r]ddnl[tfrac1nr] =limntoinfty-1n^2(1+1/n)-tfrac1n^2 =limntoinfty11+tfrac1n =1

Passo 4

Como exp é função contínua,
limntoinftyvn =expl(limntoinftyanr) =exp(1)=e

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyvn=e.

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