Suponha que um objeto se move ao longo de uma reta orientada e de origem
. Suponha ainda que, no instante
(em minutos), a sua distância à origem
(em metros) seja dada pela função
. Nesse caso, o objeto estará se afastando ou se aproximando da origem
se a sua velocidade for positiva ou negativa, respectivamente.
a) Determine o instante em que o objeto está parado.
b) Determine o intervalo de tempo em que o objeto esta se aproximando e o intervalo de tempo em que está se afastando da origem
.
c) Usando o item b), determine a menor distância do objeto à origem.
a) Determine o instante em que o objeto está parado.
b) Determine o intervalo de tempo em que o objeto esta se aproximando e o intervalo de tempo em que está se afastando da origem
c) Usando o item b), determine a menor distância do objeto à origem.
Passo 1
O enunciado dá a posição do objeto em função do tempo
:
e diz que a velocidade é
. Como o objeto está parado quando
, aproxima-se da origem quando
e afasta-se quando
, vamos:
. Calcular
via derivada.
. Resolver
para achar o instante de parada.
. Analisar o sinal de
para os intervalos.
. Identificar a menor distância usando esses resultados.
Passo 2
Calculando a derivada:
Para achar quando o objeto pára, igualamos a zero:
Passo 3
Analisando o sinal de
:
- Para
, temos então , logo .
o objeto está se aproximando da origem em . - Para
, temos então , logo .
o objeto está se afastando da origem em .
Passo 4
A menor distância ocorre onde
atinge mínimo no domínio
. Os candidatos são:
- Extremidade
: - Ponto crítico
: - Limite
: .
Portanto o mínimo émetros.
Resposta
a) O objeto pára em
minuto.
b) Aproxima-se da origem em e afasta-se em
.
c) A menor distância à origem é metros.
b) Aproxima-se da origem em
c) A menor distância à origem é