Suponha que um objeto se move ao longo de uma reta orientada e de origem O. Suponha ainda que, no instante t >= 0 (em minutos), a sua distância à origem O (em metros) seja dada pela função s(t)=5 t+20 /(t+1). Nesse caso, o objeto estará se afastando ou se aproximando da origem O se a sua velocidade for positiva ou negativa, respectivamente.
a) Determine o instante em que o objeto está parado.
b) Determine o intervalo de tempo em que o objeto esta se aproximando e o intervalo de tempo em que está se afastando da origem O.
c) Usando o item b), determine a menor distância do objeto à origem.

Passo 1

O enunciado dá a posição do objeto em função do tempo t>=0:
s(t)=5t+20t+1,
e diz que a velocidade é v(t)=s'(t). Como o objeto está parado quando v(t)=0, aproxima-se da origem quando v(t)<0 e afasta-se quando v(t)>0, vamos:
1. Calcular v(t) via derivada.
2. Resolver v(t)=0 para achar o instante de parada.
3. Analisar o sinal de v(t) para os intervalos.
4. Identificar a menor distância usando esses resultados.

Passo 2

Calculando a derivada:
v(t)=s'(t) =ddt!l(5tr) +ddt!l(tfrac20t+1r) =5-201(t+1)^2
Para achar quando o objeto pára, igualamos a zero:
5-20(t+1)^2=0 Longrightarrow 20(t+1)^2=5 Longrightarrow (t+1)^2=4 Longrightarrow t+1=2 Longrightarrow t=1

Passo 3

Analisando o sinal de v(t)=5-tfrac20(t+1)^2:
  • Para 0<= t<1, temos (t+1)^2<4 então tfrac20(t+1)^2>5, logo v(t)<0.
    to o objeto está se aproximando da origem em 0<= t<1.
  • Para t>1, temos (t+1)^2>4 então tfrac20(t+1)^2<5, logo v(t)>0.
    to o objeto está se afastando da origem em t>1.

Passo 4

A menor distância ocorre onde s(t) atinge mínimo no domínio t>=0. Os candidatos são:
  • Extremidade t=0: s(0)=5cdot0+200+1=20
  • Ponto crítico t=1: s(1)=5cdot1+201+1=5+10=15
  • Limite ttoinfty: s(t)to+infty.
    Portanto o mínimo é s(1)=15 metros.

Resposta

a) O objeto pára em t=1 minuto.
b) Aproxima-se da origem em 0<= t<1 e afasta-se em t>1.
c) A menor distância à origem é 15 metros.

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