Usando integral dupla, calcule a área da região dada. Esboce a região.
R é a região triangular de vértices nos pontos (-1,0),(1,0) e (0,2).

Passo 1

O enunciado pede a área da região triangular R cujos vértices são (-1,0), (1,0) e (0,2), usando integral dupla. O conteúdo é “cálculo de área por integral dupla”, em que vamos integrar a função constante 1 sobre R.

Passo 2

Para montar a integral precisamos das equações das retas que formam as arestas do triângulo.
A reta que liga (-1,0) a (0,2) satisfaz
y=2,(x+1) Longrightarrow x=-1+ y2
A reta que liga (1,0) a (0,2) satisfaz
y=-2,(x-1) Longrightarrow x=1- y2

Passo 3

Observando que y varia de 0 a 2 e para cada y fixo x varia entre as duas retas, a área é
integral duplaR1,dA =integraly=0^2!integralx=-1+ y2^,1- y21,dx,dy

Passo 4

Calculemos em dois passos:
integralx=-1+ y2^,1- y21,dx =l[xr]x=-1+ y2^,1- y2 =(1-tfrac y2)-(-1+tfrac y2) =2-y
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integraly=0^2(2-y),dy =l[2y-tfracy^22r]0^2 =(4-2)-0 =2

Passo 5

Esboço da região: no plano xy marque os pontos (-1,0), (1,0) e (0,2). Una-os por segmentos de reta, formando um triângulo isósceles com base no eixo x e vértice superior em (0,2).

Resposta

A área de R é 2.

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