Segundo o modelo logístico, a partir de um valor inicial , a taxa de crescimento de uma população deve diminuir proporcionalmente ao aumento da população. Esta hipótese corresponde a supor que a função satisfaz à equação , em que é uma constante positiva. Equivalentemente, usando a notação , essa equação pode ser escrita na forma
a) Para determinar , primeiro determine constantes e tais que
b) Usando o item anterior e lembrando que , obtenha uma primitiva para na forma de uma soma de duas funções, cada uma delas envolvendo o logaritmo .
c) Usando as propriedades do logaritmo, transforme a soma das duas funções do item anterior em uma função da forma , em que a expressão de envolve .
d) Finalmente, usando a equação (*) e supondo que e são positivas, obtenha uma expressão para .
Passo 1
O enunciado trata da equação logística, que é uma equação diferencial separável dada por
onde e . Nosso objetivo é integrar essa equação para encontrar . Para isso vamos usar frações parciais, depois integrar cada termo usando primitiva de que é , combinar os logaritmos e por fim resolver para .
Passo 2
Queremos escrever
Multiplicando por fica
Comparando coeficientes de e termo constante obtemos
Passo 3
Usando e trocando por , temos
Então uma primitiva é
Passo 4
Somando os logaritmos temos
1al(ln p(t) - ln(a-p(t))r) + C = 1aln!gl(p(t)a-p(t)gr) + C