Segundo o modelo logístico, a partir de um valor inicial k>0, a taxa de crescimento p^prime(t) / p(t) de uma população p(t) deve diminuir proporcionalmente ao aumento da população. Esta hipótese corresponde a supor que a função p(t) satisfaz à equação p^prime(t) / p(t)=k-c p(t), em que c é uma constante positiva. Equivalentemente, usando a notação a=k / c, essa equação pode ser escrita na forma
(*) p^prime(t)p(t)(a-p(t))=c
a) Para determinar p(t), primeiro determine constantes A e B tais que
1x(a-x)=Ax+Ba-x
b) Usando o item anterior e lembrando que dd t ln (u(t))=u^prime(t) / u(t), obtenha uma primitiva para p^prime(t) /[p(t)(a-p(t))] na forma de uma soma de duas funções, cada uma delas envolvendo o logaritmo .
c) Usando as propriedades do logaritmo, transforme a soma das duas funções do item anterior em uma função da forma ln (v(t)), em que a expressão de v(t) envolve p(t).
d) Finalmente, usando a equação (*) e supondo que p(t) e a-p(t) são positivas, obtenha uma expressão para p(t).

Passo 1

O enunciado trata da equação logística, que é uma equação diferencial separável dada por
p'(t)p(t),(a-p(t))=c,
onde a=k/c e c>0. Nosso objetivo é integrar essa equação para encontrar p(t). Para isso vamos usar frações parciais, depois integrar cada termo usando primitiva de u'/u que é ln|u|, combinar os logaritmos e por fim resolver para p(t).

Passo 2

Queremos escrever
1x(a-x)=Ax+Ba-x
Multiplicando por x(a-x) fica
1 = A,(a-x) + B,x = A,a + x,(B - A)
Comparando coeficientes de x e termo constante obtemos
B - A = 0, A,a = 1 Longrightarrow A = B = 1a

Passo 3

Usando A=B=1/a e trocando x por p(t), temos
p'(t)p(t),(a-p(t)) = 1a,p'(t)p(t) + 1a,p'(t)a-p(t)
Então uma primitiva é
integral p'(t)p(t),(a-p(t)),dt = 1aintegral p'(t)p(t),dt + 1aintegral p'(t)a-p(t),dt = 1alnl|p(t)r| - 1alnl|a-p(t)r| + C

Passo 4

Somando os logaritmos temos
1al(ln p(t) - ln(a-p(t))r) + C = 1aln!gl(p(t)a-p(t)gr) + C
Assim a equação p'p(a-p)=c integrada dá
1aln!gl(p(t)a-p(t)gr) = c,t + C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 5

Multiplicando por a e exponenciando,
ln!gl(p(t)a-p(t)gr) = a,c,t + C2 Longrightarrow p(t)a-p(t) = K,e^a c t,
com K=e^C2. Resolvendo para p(t):
p(t) = (a-p(t)),K,e^a c t ;Longrightarrow; p(t)l(1+K,e^a c tr) = a,K,e^a c t ;Longrightarrow; p(t) = a,K,e^a c t1+K,e^a c t = a1 + K^-1e^-a c t
Se definirmos C=K^-1, fica
p(t) = a1 + C,e^-a c t

Resposta

p(t) = a1 + C,e^-a c t,
onde a=dfrackc e C é determinada pela condição inicial.

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