Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
tn=(1+7n)^3 n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
tn=l(1+7nr)^3n
e determinar se ela converge ou diverge, e em caso de convergência calcular o limite. O conteúdo principal aqui é o limite de sequência que gera a função exponencial, ou seja, lembrar que
limntoinftyl(1+xnr)^n=e^x
Para aplicar esse resultado de forma rigorosa, vamos transformar em logaritmo natural.

Passo 2

Definimos
an=lnl(tnr) =ln!l[l(1+7nr)^3nr] =3n;ln!l(1+7nr)
Como ntoinfty, usamos o limite clássico
limntoinftyn,ln!l(1+7nr) =7,
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limntoinftyan =3;times 7 =21

Passo 3

Sabendo que limntoinftyan=21 e que a função exponencial é contínua, temos
limntoinftytn =limntoinftye^an =e^21
Portanto a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftytn=e^21

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