Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
integral0^1 integral0^x x d y d x+integral1^2 integral0^1 / x x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração definida por
0 <= x <= 1,;0 <= y <= x
e
1 <= x <= 2,;0 <= y <= tfrac1x,
inverter a ordem de integração e calcular a integral
integral0^1!integral0^xx,dy,dx ;+;integral1^2!integral0^1/xx,dy,dx
O conteúdo envolve integração dupla em coordenadas cartesianas e troca de ordem de integração.

Passo 2

Esboce a região no plano (x,y):
– Para 0<= x<=1, temos o triângulo abaixo da reta y=x sobre o eixo y=0.
– Para 1<= x<=2, temos a área sob a hipérbole y=1/x também acima de y=0.
Em conjunto, a região fica “sob” y=x de x=0 a 1 e “sob” y=1/x de x=1 a 2.

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, fixamos y e achamos os limites em x. O valor de y vai de 0 até o máximo das curvas, que é 1. Para um dado y:
– Se 0<= y<=tfrac12, a reta x=y está em x<=1 e a condição y<=1/x equivale a x<=2. Logo x varia de y até 2.
– Se tfrac12<= y<=1, a reta dá x>= y até x=1 e a hipérbole impõe x<=1/y<=2. Portanto x varia de y até 1/y.

Passo 4

A integral com ordem invertida torna-se
integral0^1/2!integraly^2 x,dx,dy ;+; integral1/2^1!integraly^1/y x,dx,dy

Passo 5

Calculemos cada parte:
integraly^2 x,dx = l[tfracx^22r]y^2 =2 - tfracy^22,
integraly^1/y x,dx = l[tfracx^22r]y^1/y =tfrac12y^2-tfracy^22
Então
integral0^1/2!l(2-tfracy^22r)dy +integral1/2^1!l(tfrac12y^2-tfracy^22r)dy
Calculando:
integral0^1/22,dy =1, integral0^1/2tfracy^22,dy =tfrac148,
integral1/2^1tfrac12y^2,dy =l[-tfrac12yr]1/2^1=tfrac12, integral1/2^1tfracy^22,dy=tfrac748
Assim o total é
1-tfrac148 ;+;tfrac12-tfrac748 =tfrac4748+tfrac2448-tfrac748 =tfrac6448 =tfrac43

Resposta

tfrac43

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