Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração definida por
e
inverter a ordem de integração e calcular a integral
O conteúdo envolve integração dupla em coordenadas cartesianas e troca de ordem de integração.
Passo 2
Esboce a região no plano
:
– Para , temos o triângulo abaixo da reta
sobre o eixo
.
– Para , temos a área sob a hipérbole
também acima de
.
Em conjunto, a região fica “sob” de
a
e “sob”
de
a
.
– Para
– Para
Em conjunto, a região fica “sob”
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, fixamos
e achamos os limites em
. O valor de
vai de
até o máximo das curvas, que é
. Para um dado
:
– Se , a reta
está em
e a condição
equivale a
. Logo
varia de
até
.
– Se , a reta dá
até
e a hipérbole impõe
. Portanto
varia de
até
.
– Se
– Se
Passo 4
A integral com ordem invertida torna-se
Passo 5
Calculemos cada parte:
Então
Calculando:
Assim o total é