Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
inverter a ordem de integração e calcular
Vamos usar geometria das curvas
(parábola) e
(reta), resolver o sistema para achar os pontos de interseção, depois descrever
como região em termos de
e
, escrever a integral invertida e avaliar.
Passo 2
As curvas se intersectam onde
Nesses pontos
vale
e
. Então
é o conjunto entre a parábola e a reta, com vértices em
e
, e as bordas verticais em
e
.
Passo 3
Para inverter a ordem, encontramos o menor e maior valor de
em
. O mínimo de
ocorre em
na parábola, dando
; o máximo ocorre em
, dando
.
Para cada devemos achar o intervalo de
. Nota-se que:
Para cada
- Se
, a reta está à esquerda de fora de , e o único limite vem da parábola:
. - Se
, a borda esquerda vem da reta e a borda direita da parábola positiva .
Passo 4
A integral invertida fica então
Passo 5
Para economizar cálculo, podemos avaliar direto na ordem original:
Calculando a primitiva:
avaliando de
a
: