Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
integral-1^2 integralx^2^x+2 x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
D=(x,y)mid -1<= x<=2,;x^2<= y<= x+2,
inverter a ordem de integração e calcular
integral-1^2integralx^2^,x+2x,dy,dx
Vamos usar geometria das curvas y=x^2 (parábola) e y=x+2 (reta), resolver o sistema para achar os pontos de interseção, depois descrever D como região em termos de y e x, escrever a integral invertida e avaliar.

Passo 2

As curvas se intersectam onde
x^2=x+2 Longrightarrow x^2-x-2=0 Longrightarrow x=-1,,2
Nesses pontos y=x^2 vale 1 e 4. Então D é o conjunto entre a parábola e a reta, com vértices em (-1,1) e (2,4), e as bordas verticais em x=-1 e x=2.

Passo 3

Para inverter a ordem, encontramos o menor e maior valor de y em D. O mínimo de y ocorre em x=0 na parábola, dando ymin=0; o máximo ocorre em (2,4), dando ymax=4.
Para cada y devemos achar o intervalo de x. Nota-se que:
  • Se 0<= y<=1, a reta está à esquerda de x=-1 fora de D, e o único limite vem da parábola:
    -raizy<= x<=raizy.
  • Se 1<= y<=4, a borda esquerda vem da reta x=y-2 e a borda direita da parábola positiva x=raizy.

Passo 4

A integral invertida fica então
integral0^1!integral-raizy^raizyx,dx,dy ;+; integral1^4!integraly-2^raizyx,dx,dy

Passo 5

Para economizar cálculo, podemos avaliar direto na ordem original:
integral-1^2xl((x+2)-x^2r),dx =integral-1^2l(x^2+2x-x^3r),dx
Calculando a primitiva:
integral(x^2+2x-x^3),dx =x^33+x^2-x^44,
avaliando de -1 a 2:
l(tfrac83+4-!4r) -l(-tfrac13+1-tfrac14r) =83-l(34-13r) =83-512 =2712 =94

Resposta

94

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