Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração e inverter a ordem de integração para calcular a integral
O conteúdo é duplo integral em variáveis
e
e mudança de ordem de integração.
Passo 2
Definimos o domínio
como a união de duas partes:
— Para , temos
.
— Para , temos
.
Se esboçarmos, vemos que é o triângulo com vértices
,
e
.
— Para
— Para
Se esboçarmos, vemos que
Passo 3
Para inverter a ordem, escolhemos
de 0 até 1 (altura máxima do triângulo) e, para cada
,
vai da fronteira da reta
até a reta
. Logo
e a integral torna-se
Passo 4
Calculamos primeiro a integral interna:
Agora a integral em
: