Esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
integral0^1 integral0^x y d y d x+integral1^2 integral0^2-x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração e inverter a ordem de integração para calcular a integral
integral0^1integral0^xy,dy,dx ;+;integral1^2integral0^2-xy,dy,dx
O conteúdo é duplo integral em variáveis x e y e mudança de ordem de integração.

Passo 2

Definimos o domínio D como a união de duas partes:
— Para 0<= x<=1, temos 0<= y<= x.
— Para 1<= x<=2, temos 0<= y<= 2-x.
Se esboçarmos, vemos que D é o triângulo com vértices (0,0), (1,1) e (2,0).

Passo 3

Para inverter a ordem, escolhemos y de 0 até 1 (altura máxima do triângulo) e, para cada y, x vai da fronteira da reta y=x até a reta y=2-x. Logo
D=(x,y)mid 0<= y<=1,;y<= x<=2-y,
e a integral torna-se
integraly=0^1integralx=y^,2-yy,dx,dy

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna:
integralx=y^,2-yy,dx =yl[(2-y)-yr] =y(2-2y) =2y-2y^2
Agora a integral em y:
integral0^1(2y-2y^2),dy =l[y^2-tfrac23y^3r]0^1 =1-tfrac23 =tfrac13

Resposta

tfrac13

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