Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
betan=1+2+3+ldots+nn^2+n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
betan=1+2+3+dots+nn^2+n
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular o limite. Vamos usar a fórmula da soma dos primeiros n naturais.

Passo 2

Sabemos que
1+2+3+dots+n = n(n+1)2
Substituindo na definição de betan, fica
betan = n(n+1)2n^2+n

Passo 3

Repare que n^2+n = n(n+1), então
betan = n(n+1)2,n(n+1) = 12
Isso mostra que betan é constante igual a tfrac12 para todo n.

Passo 4

Como a sequência é constante e igual a tfrac12, ela converge e
limntoinftybetan = 12

Resposta

A sequência converge e seu limite é tfrac12.

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