Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
alphan=raizn+1-raizn

Passo 1

Resumindo, temos a sequência alphan dada por
alphan = raizn+1 - raizn
e queremos estudar o comportamento de alphan quando n to infty. O conteúdo aqui é limite de sequência e manipulação de radicais.

Passo 2

Para simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite, usamos a técnica do conjugado: multiplicamos e dividimos por
raizn+1 + raizn, pois isso elimina as raízes no numerador.

Passo 3

Aplicando a conjugação, temos
alphan = (raizn+1-raizn)cdot raizn+1+raiznraizn+1+raizn = (n+1)-nraizn+1+raizn = 1raizn+1+raizn

Passo 4

Agora basta avaliar o limite da forma simplificada:
limntoinftyalphan = limntoinfty1raizn+1+raizn = 0,
pois o denominador cresce sem limite.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyalphan = 0

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