Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
phin=(2 n)!(n!)^2

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da sequência
phin = l(2n)!(n!)^2r
usando conceitos de limite de sequência e, se ela convergir, calcular o limite. Aqui vamos usar o teste da razão, que diz que, se
L = limntoinftyphin+1phin
existe e L>1, então phinto+infty (diverge).

Passo 2

Calculemos o quociente entre termos consecutivos:
phin+1phin = (2(n+1))!l((n+1)!r)^2(2n)!(n!)^2 = (2n+2)(2n+1),(n!)^2(n+1)^2,(2n)!, 1(n!)^2 = (2n+2)(2n+1)(n+1)^2

Passo 3

Simplifiquemos a expressão:
(2n+2)(2n+1)(n+1)^2 = 4n^2+6n+2n^2+2n+1
Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty4n^2+6n+2n^2+2n+1 = 41 = 4

Passo 4

Como o limite do quociente é 4>1, pelo teste da razão concluímos que
phinto+infty. Em outras palavras, a sequência diverge.

Resposta

A sequência diverge, ou seja, phinto+infty.

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