Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=\frac{3 n^{2}-n+4}{2 n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{3 n^{2}-n+4}{2 n^{2}+1}
e pede para determinar se ela converge ou diverge; se convergir, calcular o limite \lim_{n\to\infty} a_n.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência é uma razão de polinômios em n (grau 2 no numerador e no denominador).
  • Quer-se o comportamento quando n cresce sem limite (isto é, n\to\infty).

Passo 2

Ideia do método (motivo prático): quando temos uma razão de polinômios com o mesmo grau no numerador e no denominador, os termos de maior grau dominam o comportamento para n grande. Uma maneira sistemática é dividir numerador e denominador pela maior potência de n que aparece (aqui n^{2}), para reduzir a expressão a termos que têm limites fáceis de calcular.
Regra usada (Lei dos limites para soma/produto/razão): se \lim_{n\to\infty} x_n = X e \lim_{n\to\infty} y_n = Y com Y\neq0, então
\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{X}{Y}.
Também sabemos que \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 e \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2}}=0.

Passo 3

Divido numerador e denominador por n^{2}. Escrevo a sequência como
a_{n}=\frac{3 n^{2}-n+4}{2 n^{2}+1} = \frac{3 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{n^{2}}}{2 + \dfrac{1}{n^{2}}}.

Passo 4

Calculo os limites das partes que aparecem na forma acima:
\lim_{n\to\infty} \left(3 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{n^{2}}\right) = 3 - 0 + 0 = 3,
\lim_{n\to\infty} \left(2 + \dfrac{1}{n^{2}}\right) = 2 + 0 = 2.
Como o limite do denominador é 2\neq0, pela regra da razão de limites temos
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \frac{3}{2}.

Passo 5

Interpretação e conclusão: a sequência converge porque o limite existe e é finito. O argumento essencial é que os termos de ordem inferior em n (como \dfrac{1}{n} e \dfrac{1}{n^{2}}) tornam-se desprezíveis quando n cresce, ficando apenas a razão dos coeficientes dos termos de maior grau ( 3 sobre 2).
Para ficar mais concreto, mostrarei que a diferença a_n-\dfrac{3}{2} tende a zero de maneira explícita (isso é um pequeno complemento, útil em provas):
a_n-\frac{3}{2} = \frac{3 n^{2}-n+4}{2 n^{2}+1} - \frac{3}{2} = \frac{-n + \dfrac{5}{2}}{2 n^{2}+1}.
Então
\left|a_n-\frac{3}{2}\right| \le \frac{|{-}n| + \tfrac{5}{2}}{2 n^{2}+1} = \frac{n + \tfrac{5}{2}}{2 n^{2}+1} \le \frac{n + \tfrac{5}{2}}{2 n^{2}} = \frac{1}{2n} + \frac{5}{4 n^{2}},
e o lado direito tende a 0 quando n\to\infty. Isso confirma que a_n\to \dfrac{3}{2}.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=\frac{3}{2}.

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