Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine se a sequência converge ou diverge e, caso converja, calcule o limite. A sequência dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A sequência é definida para
inteiro positivo (supondo ); o denominador nunca é zero para esses . - A tarefa é decidir convergência/divergência e calcular
quando houver convergência.
Passo 2
Primeiro faço uma simplificação algébrica da expressão de
. Observe que o numerador é uma diferença de quadrados; aplico a fórmula
com
e
:
Substituindo na definição da sequência:
Passo 3
Como
para todo
, posso cancelar o fator
no numerador com o denominador. Assim obtenho uma forma simplificada e exata para
:
Passo 4
Agora analisamos o comportamento da sequência
quando
. Intuitivamente, à medida que
cresce,
também cresce sem limite superior, portanto tende a
. Vou dar uma justificativa usando a definição de divergência para
:
Definição prática: dizemos que
quando, para todo número real
, existe
tal que
para todo
.
Dado
, escolho
. Para todo
vale
Logo, para qualquer
podemos encontrar
que garante
para
. Portanto
; isto é, a sequência diverge, crescendo sem limite.
Passo 5
Como observação útil para provas: uma técnica geral para sequências racionais em
é comparar os graus dos polinômios no numerador e denominador.
- Se o grau do numerador for maior que o do denominador, a sequência costuma divergir para
(o sinal depende dos coeficientes líderes). - Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
- Se o grau do numerador for menor, o limite é
.
No caso dado, o numerador tem graue o denominador grau , então esperávamos divergência para infinito; a fatoração mostrou ainda que , o que confirma e torna a conclusão imediata.