Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=\frac{n^{2}-1}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine se a sequência converge ou diverge e, caso converja, calcule o limite. A sequência dada é
a_{n}=\frac{n^{2}-1}{n+1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência é definida para n inteiro positivo (supondo n\in\mathbb{N}); o denominador n+1 nunca é zero para esses n.
  • A tarefa é decidir convergência/divergência e calcular \lim_{n\to\infty}a_n quando houver convergência.

Passo 2

Primeiro faço uma simplificação algébrica da expressão de a_n. Observe que o numerador é uma diferença de quadrados; aplico a fórmula x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y) com x=n e y=1:
n^{2}-1=(n-1)(n+1).
Substituindo na definição da sequência:
a_{n}=\frac{(n-1)(n+1)}{n+1}.

Passo 3

Como n+1\neq0 para todo n\in\mathbb{N}, posso cancelar o fator n+1 no numerador com o denominador. Assim obtenho uma forma simplificada e exata para a_n:
a_{n}=n-1\qquad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento da sequência a_n=n-1 quando n\to\infty. Intuitivamente, à medida que n cresce, n-1 também cresce sem limite superior, portanto tende a +\infty. Vou dar uma justificativa usando a definição de divergência para +\infty:
Definição prática: dizemos que a_n\to+\infty quando, para todo número real M>0, existe N\in\mathbb{N} tal que a_n>M para todo n>N.
Dado M>0, escolho N=\lceil M\rceil+1. Para todo n>N vale
a_n = n-1 > N-1 \ge \lceil M\rceil \ge M.
Logo, para qualquer M podemos encontrar N que garante a_n>M para n>N. Portanto a_n\to+\infty; isto é, a sequência diverge, crescendo sem limite.

Passo 5

Como observação útil para provas: uma técnica geral para sequências racionais em n é comparar os graus dos polinômios no numerador e denominador.
  • Se o grau do numerador for maior que o do denominador, a sequência costuma divergir para \pm\infty (o sinal depende dos coeficientes líderes).
  • Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
  • Se o grau do numerador for menor, o limite é 0.
    No caso dado, o numerador tem grau 2 e o denominador grau 1, então esperávamos divergência para infinito; a fatoração mostrou ainda que a_n=n-1, o que confirma e torna a conclusão imediata.

Resposta

\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty

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