Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se converge, calcular o limite. As informações relevantes que temos são apenas a fórmula de
e a condição
.
Passo 2
Vamos simplificar
para uma forma mais manejável, passo a passo.
Primeiro escrevo cada fração de maneira que apareça uma parte constante mais um termo pequeno:
Agora substituo essas expressões em
:
Como os
se cancelam, obtemos uma forma bem simples:
Passo 3
Explico por que essa forma é útil para estudar o limite.
Regra básica de limites (intuição e uso prático): se duas sequências
e
têm limites finitos
e
, então a soma
tem limite
. Também, a sequência
tem limite
para qualquer constante
.
Aqui temos
. Então basta analisar os limites de
e de
quando
.
Intuitivamente, conforme
cresce, os denominadores
e
ficam muito grandes, logo
e
ficam muito pequenos. Formalizando esse raciocínio de forma simples: para qualquer
existe
tal que, para
,
(por exemplo, escolher
). O mesmo vale para
. Portanto
Passo 4
Aplicando a regra da soma e a constante multiplicativa ao resultado anterior:
Para reforçar a convergência de maneira estimativa, note que para
e como
, a desigualdade mostra também que
. Observação adicional:
para todo
, então a sequência converge para
vindo do lado negativo.
Resposta
A sequência converge e
.