Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=\frac{n-1}{n}-\frac{n}{n-1} n \geq 2

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{n-1}{n}-\frac{n}{n-1},\qquad n\ge 2,
e pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se converge, calcular o limite. As informações relevantes que temos são apenas a fórmula de a_{n} e a condição n\ge 2.

Passo 2

Vamos simplificar a_{n} para uma forma mais manejável, passo a passo.
Primeiro escrevo cada fração de maneira que apareça uma parte constante mais um termo pequeno:
\frac{n-1}{n}=1-\frac{1}{n}
\frac{n}{n-1}=1+\frac{1}{n-1}
Agora substituo essas expressões em a_{n}:
a_{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)-\left(1+\frac{1}{n-1}\right)
Como os 1 se cancelam, obtemos uma forma bem simples:
a_{n}=-\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}.

Passo 3

Explico por que essa forma é útil para estudar o limite.
Regra básica de limites (intuição e uso prático): se duas sequências b_{n} e c_{n} têm limites finitos b e c, então a soma b_{n}+c_{n} tem limite b+c. Também, a sequência k\cdot b_{n} tem limite k\cdot b para qualquer constante k.
Aqui temos a_{n}=-\bigl(\tfrac{1}{n}+\tfrac{1}{n-1}\bigr). Então basta analisar os limites de \tfrac{1}{n} e de \tfrac{1}{n-1} quando n\to\infty.
Intuitivamente, conforme n cresce, os denominadores n e n-1 ficam muito grandes, logo \tfrac{1}{n} e \tfrac{1}{n-1} ficam muito pequenos. Formalizando esse raciocínio de forma simples: para qualquer \varepsilon>0 existe N tal que, para n\ge N, \tfrac{1}{n}<\varepsilon (por exemplo, escolher N>\tfrac{1}{\varepsilon}). O mesmo vale para \tfrac{1}{n-1}. Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n-1}=0.

Passo 4

Aplicando a regra da soma e a constante multiplicativa ao resultado anterior:
\lim_{n\to\infty}a_{n}=-\left(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n-1}\right) = -(0+0)=0.
Para reforçar a convergência de maneira estimativa, note que para n\ge 2
\left|a_{n}\right|=\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}\le \frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-1}=\frac{2}{n-1},
e como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n-1}=0, a desigualdade mostra também que a_{n}\to 0. Observação adicional: a_{n}<0 para todo n\ge 2, então a sequência converge para 0 vindo do lado negativo.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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