Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
converge ou diverge e, se convergir, calcular o limite.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A sequência é definida por
para todo . - Precisa-se decidir convergência/divergência e obter o(s) limite(s), se houverem.
Passo 2
Vamos olhar os valores de
quando
é par e quando
é ímpar, porque isso costuma simplificar sequências com potências de
.
Para
par, escrevemos
com
. Então
logo
Para
ímpar, escrevemos
. Então
logo
Portanto os termos da sequência são alternadamente
.
Passo 3
Definimos duas subsequências óbvias:
- A subsequência dos índices pares:
para todo . Essa é uma sequência constante, então tem limite
- A subsequência dos índices ímpares:
para todo . Essa também é constante, com limite
Passo 4
Uma propriedade importante: se uma sequência converge para um limite
, então todas as suas subsequências também convergem para o mesmo limite
. Aqui encontramos duas subsequências que convergem, mas com limites diferentes (
e
). Isso já é suficiente para concluir que a sequência original não pode convergir.
Passo 5
Para ficar 100% formal, suponha, por contradição, que exista
com
. Tome
. Então, pela definição de limite, existe
tal que para todo
valem
. Escolhendo
par obtemos
, ou seja
. Escolhendo
ímpar obtemos
, ou seja
. Essas duas condições são incompatíveis (os intervalos são disjuntos), contradição. Logo não existe tal
.
Passo 6
Conclusão: a sequência não converge porque seus termos não se aproximam de um único valor; eles continuam alternando entre
e
para sempre.
Um comentário amigo: sequências alternantes podem convergir se a amplitude for decrescendo (por exemplo
). Aqui, porém, a amplitude é fixa, por isso diverge. Força nos estudos — você já entendeu a ideia essencial que aparece com frequência em provas!
Resposta
A sequência diverge (não tem limite). As subsequências para
par e para
ímpar têm limites
e
, respectivamente.