Determine se as sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
a_{n}=1+(-1)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência \,a_{n}=1+(-1)^{n}\, converge ou diverge e, se convergir, calcular o limite.
Informações dadas:
  • A sequência é definida por \,a_{n}=1+(-1)^{n}\, para todo n\in\mathbb{N}.
  • Precisa-se decidir convergência/divergência e obter o(s) limite(s), se houverem.

Passo 2

Vamos olhar os valores de (-1)^{n} quando n é par e quando n é ímpar, porque isso costuma simplificar sequências com potências de -1.
Para n par, escrevemos n=2k com k\in\mathbb{N}. Então
(-1)^{n}=(-1)^{2k}=1,
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a_{2k}=1+1=2.
Para n ímpar, escrevemos n=2k+1. Então
(-1)^{n}=(-1)^{2k+1}=-1,
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a_{2k+1}=1+(-1)=0.
Portanto os termos da sequência são alternadamente 2,0,2,0,\dots.

Passo 3

Definimos duas subsequências óbvias:
  • A subsequência dos índices pares: \,a_{2k}=2 para todo k. Essa é uma sequência constante, então tem limite
\lim_{k\to\infty} a_{2k}=2.
  • A subsequência dos índices ímpares: \,a_{2k+1}=0 para todo k. Essa também é constante, com limite
\lim_{k\to\infty} a_{2k+1}=0.

Passo 4

Uma propriedade importante: se uma sequência converge para um limite L, então todas as suas subsequências também convergem para o mesmo limite L. Aqui encontramos duas subsequências que convergem, mas com limites diferentes ( 2 e 0). Isso já é suficiente para concluir que a sequência original não pode convergir.

Passo 5

Para ficar 100% formal, suponha, por contradição, que exista L\in\mathbb{R} com \lim_{n\to\infty} a_n=L. Tome \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Então, pela definição de limite, existe N tal que para todo n\ge N valem |a_n-L|<\tfrac{1}{2}. Escolhendo n\ge N par obtemos |2-L|<\tfrac{1}{2}, ou seja L\in(3/2,5/2). Escolhendo n\ge N ímpar obtemos |0-L|<\tfrac{1}{2}, ou seja L\in(-1/2,1/2). Essas duas condições são incompatíveis (os intervalos são disjuntos), contradição. Logo não existe tal L.

Passo 6

Conclusão: a sequência não converge porque seus termos não se aproximam de um único valor; eles continuam alternando entre 2 e 0 para sempre.
Um comentário amigo: sequências alternantes podem convergir se a amplitude for decrescendo (por exemplo \,b_n = (-1)^n/n \to 0). Aqui, porém, a amplitude é fixa, por isso diverge. Força nos estudos — você já entendeu a ideia essencial que aparece com frequência em provas!

Resposta

A sequência diverge (não tem limite). As subsequências para n par e para n ímpar têm limites 2 e 0, respectivamente.

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