Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
bn=sen(n pi2)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
bn = sin!l(tfracnpi2r),
e pede para decidir se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é análise de limites de sequência usando inspeção de valores e subsequências.

Passo 2

Vamos calcular os primeiros termos e identificar um padrão periódico:
b1 &= sin!l(tfracpi2r) = 1, b2 &= sin(pi) = 0, b3 &= sin!l(tfrac3pi2r) = -1, b4 &= sin(2pi) = 0, b5 &= sin!l(tfrac5pi2r) = 1,
e assim por diante. Observamos que a sequência repete o ciclo 1,0,-1,0.

Passo 3

Para uma sequência convergir a um limite L, toda subsequência também deve convergir a L. Mas, por exemplo:
  • A subsequência b4k+1 vale sempre 1, logo limktoinftyb4k+1=1.
  • A subsequência b4k vale sempre 0, logo limktoinftyb4k=0.
Como 1neq0, não há um único L que seja limite de todas as subsequências.

Resposta

A sequência diverge (não existe limntoinftybn).

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