Verifique a definição formal de cada tipo de limite e qual se aplica aos limites dados abaixo e prove-os:
lim x +infty 2 x^2-61-x=-infty

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2x^2-61-x
e pede para provar que
limxto+inftyf(x)=-infty
O tipo de limite aqui é “infinito no infinito”, cuja definição formal é: dizemos
limxto+inftyf(x)=-infty
se, para todo M<0, existe N>0 tal que, sempre que x>N, então f(x)<M.

Passo 2

Reescrevemos f(x) de forma conveniente para estimar seu comportamento quando x cresce:
f(x)=2x^2-61-x=-2x^2-6x-1
Para x>2, temos 2x^2-6>x^2. Então
f(x)<-x^2x-1

Passo 3

Ainda para x>2, nota-se que
x-1>12,x,
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-x^2x-1<-x^2x/2=-2x
Portanto, sempre que x>2, vale
f(x)<-2x<-x

Passo 4

Agora fixe qualquer M<0. Queremos garantir f(x)<M. Como para x>2 temos f(x)<-x, basta escolher x tal que -x<= M, ou seja x>= -M. Definimos
N=max2,,-M
Então, sempre que x>N, resulta
f(x)<-x<= -N<= M,
o que satisfaz exatamente a definição formal de limxto+inftyf(x)=-infty.

Resposta

limxto+infty2x^2-61-x=-infty

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