A distância d(t) de um objeto ao solo, abandonado em queda livre de uma altura de H metros, é dada por d(t)=H-(g / 2) t^2, em que g denota a aceleração da gravidade nas proximidades da terra. Suponha, por simplicidade, que g=10 m / s^2.
a) Determine, em função de H, o tempo T0 de queda do objeto.
b) Para t0<T0, determine a velocidade média do objeto entre os instantes t0 e t0+h.
c) Para t0<T0, determine a velocidade instantânea v(t0) do objeto no instante t0.
d) Determine lim t0 T0^- v(t0).

Passo 1

O enunciado dá a altura inicial H e a função da distância ao solo
d(t)=H-g2 t^2,
com g=10,m/ s^2.
a) pede o tempo de queda T0 tal que d(T0)=0.
b) pede a velocidade média entre t0 e t0+h.
c) pede a velocidade instantânea v(t0).
d) pede o limite de v(t0) quando t0to T0^-.

Passo 2

Para achar T0, impomos
d(T0)=0 Longrightarrow H-102,T0^2=0 Longrightarrow T0^2=2H10 Longrightarrow T0=raizH5

Passo 3

A velocidade média entre t0 e t0+h é
d(t0+h)-d(t0)h =l[H-102(t0+h)^2r]-l[H-102t0^2r]h =-102,(t0+h)^2-t0^2h =-5,(2t0+h) =-10l(t0+tfrach2r)

Passo 4

A velocidade instantânea é o limite da média quando hto0:
v(t0) =limhto0l[-10(t0+tfrach2)r] =-10,t0

Passo 5

Por fim,
limt0to T0^-v(t0) =limt0toraizH/5^-(-10,t0) =-10raizH5 =-raiz20H

Resposta

a) T0=raiztfracH5.
b) vmédia=-10l(t0+tfrach2r)é.
c) v(t0)=-10,t0.
d) limt0to T0^-v(t0)=-raiz20H

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