Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
in=ln (n)2^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
in = ln(n)2^n
e decidir se ela converge ou diverge, calculando o limite em caso de convergência. O conteúdo envolvido é limite de sequência e o fato de que funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções logarítmicas.

Passo 2

Para mostrar que into0 podemos usar o teste da razão para sequências: se
L = limntoinfty|in+1in| < 1,
então limntoinftyin = 0.

Passo 3

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
in+1in = ln(n+1)2^n+1;g/;ln(n)2^n = ln(n+1)2,ln(n)
Como limntoinftyln(n+1)ln(n) = 1, segue que
L = limntoinftyin+1in = 12 < 1

Passo 4

Pelo teste da razão, L<1 implica limntoinftyin = 0. Logo a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyln(n)2^n = 0

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