Verifique a definição formal de cada tipo de limite e qual se aplica aos limites dados abaixo e prove-os:
lim x 2^- 3 x-6(2-x)^2=-infty

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando definição formal de limite lateral infinito, que
limxto2^-3x-6(2-x)^2=-infty
O conteúdo é “limite lateral que tende a menos infinito”. Vamos precisar da definição epsilon de<a adaptada a esse caso (com “M” em vez de “ epsilon”) e de manipular a expressão para encontrar de<a em função de um valor arbitrário M<0.

Passo 2

Simplificamos a função para facilitar as contas. Para xneq2:
3x-6(2-x)^2 =3(x-2)(2-x)^2 =-3,2-x(2-x)^2 =-32-x

Passo 3

Definição formal de limxto2^-f(x)=-infty:
Para todo número M<0 existe de<a>0 tal que, sempre que
0<2-x<de<a,
então
f(x)<M

Passo 4

Queremos garantir
-32-x<M
Como 2-x>0, multiplicamos ambos os lados por 2-x (positivo) sem inverter a desigualdade:
-3<M,(2-x)
Agora dividimos por M<0, o que inverte a desigualdade:
2-x<-3M

Passo 5

Basta escolher
de<a=minl1,,-3Mr
Então, se 0<2-x<de<a<= -tfrac3M, temos 2-x<-tfrac3M e daí
-32-x<-3(-3/M)=M,
isto é, f(x)<M. Isso completa a prova segundo a definição.

Resposta

limxto2^-3x-6(2-x)^2=-infty.

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