Se uma esfera oca de raio a é carregada com uma unidade de eletricidade estática, a intensidade do campo eletrostático E(x), no ponto P distando x unidades do centro da esfera, é dada por E(x)=0, se 0 <= x<a, E(x)=1 / 2 a^2, se x=a e E(x)=1 / x^2, se x>a.
a) Determine lim x infty E(x) e esboce o gráfico de E(x).
b) Determine os pontos de descontinuidade da função E(x), justificando a sua resposta.
c) Supondo a=1, determine todos os valores de x para os quais E(x)<0,1.

Passo 1

O enunciado define a intensidade do campo eletrostático E(x) em torno de uma esfera oca de raio a carregada com carga unitária, de forma piecewise:
E(x)= 0, & 0 <= x < a, 12a^2, & x = a, 1x^2, & x > a
Vamos usar noções de limite, continuidade de funções piecewise e resolução de inequações para responder às partes (a), (b) e (c).

Passo 2

Para xtoinfty estamos na região x>a, onde
E(x)=1x^2
Como 1x^2to0 quando xtoinfty, concluímos que
limxtoinftyE(x)=0

Passo 3

Esboço do gráfico de E(x):
— Para 0<= x<a, E(x)=0 (reta constante em zero).
— No ponto x=a há um ponto isolado em l(a,12a^2r).
— Para x>a, E(x)=1/x^2 é uma curva que decai de 1a^2 para zero conforme xtoinfty.

Passo 4

Verificamos continuidade em cada região:
— Em 0<= x<a e em x>a, E é contínua (constante na primeira, suave em 1/x^2 na segunda).
— No ponto x=a, o limite pela esquerda é limxto a^-E(x)=0, o valor no ponto é E(a)=12a^2 e pela direita limxto a^+E(x)=1a^2. Como esses três números não coincidem, x=a é ponto de descontinuidade.

Passo 5

Agora tomamos a=1 e resolvemos E(x)<0,1:
— Para 0<= x<1: E(x)=0<0,1 vale para todo xin[0,1).
— Em x=1: E(1)=12=0,5>0,1, não satisfaz.
— Para x>1: E(x)=1x^2<0,1 se e somente se
1x^2<0,1 Long<=ftrightarrow x^2>10 Long<=ftrightarrow x>raiz10

Resposta

(a) limxtoinftyE(x)=0. Gráfico descrito no Passo 3.
(b) A única descontinuidade ocorre em x=a.
(c) Para a=1, E(x)<0,1 para
xin[0,1),cup,(raiz10,infty)

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