Se uma esfera oca de raio é carregada com uma unidade de eletricidade estática, a intensidade do campo eletrostático , no ponto distando unidades do centro da esfera, é dada por , se , se e , se .
a) Determine e esboce o gráfico de .
b) Determine os pontos de descontinuidade da função , justificando a sua resposta.
c) Supondo , determine todos os valores de para os quais .
Passo 1
O enunciado define a intensidade do campo eletrostático em torno de uma esfera oca de raio carregada com carga unitária, de forma piecewise:
Vamos usar noções de limite, continuidade de funções piecewise e resolução de inequações para responder às partes (a), (b) e (c).
Passo 2
Para xtoinfty estamos na região x>a, onde
E(x)=1x^2
Como 1x^2to0 quando xtoinfty, concluímos que
limxtoinftyE(x)=0
Passo 3
Esboço do gráfico de E(x):
— Para 0<= x<a, E(x)=0 (reta constante em zero).
— No ponto x=a há um ponto isolado em l(a,12a^2r).
— Para x>a, E(x)=1/x^2 é uma curva que decai de 1a^2 para zero conforme xtoinfty.
Passo 4
Verificamos continuidade em cada região:
— Em 0<= x<a e em x>a, E é contínua (constante na primeira, suave em 1/x^2 na segunda).
— No ponto x=a, o limite pela esquerda é limxto a^-E(x)=0, o valor no ponto é E(a)=12a^2 e pela direita limxto a^+E(x)=1a^2. Como esses três números não coincidem, x=a é ponto de descontinuidade.
Passo 5
Agora tomamos a=1 e resolvemos E(x)<0,1:
— Para 0<= x<1: E(x)=0<0,1 vale para todo xin[0,1).
— Em x=1: E(1)=12=0,5>0,1, não satisfaz.
— Para x>1: E(x)=1x^2<0,1 se e somente se